یک مدل داخلی OpenAI، یک حدس بنیادین ۸۰ساله در هندسه گسسته را رد کرد

این مسئله تحت عنوان «مسئله فاصله واحد در صفحه» (Planar Unit Distance Problem) شناخته می‌شود که برای نخستین‌بار در سال ۱۹۴۶ توسط «پل اردوش» (Paul Erdős) مطرح شد. این پرسش یکی از شناخته‌شده‌ترین مسائل در هندسه ترکیبیاتی (Combinatorial Geometry) است که بیان آن آسان، اما حل آن بسیار دشوار است. در کتاب «مسائل پژوهشی در هندسه گسسته» (Research Problems in Discrete Geometry) نوشته «براس»، «موزر» و «پاچ» در سال ۲۰۰۵، از آن با عنوان «احتمالاً شناخته‌شده‌ترین (و ساده‌ترین برای توضیح) مسئله در هندسه ترکیبیاتی» یاد شده است. «نوگا آلون» (Noga Alon)، یکی از برجسته‌ترین متخصصان ترکیبیات در پرینستون، آن را «یکی از مسائل موردعلاقه اردوش» توصیف می‌کند. اردوش حتی برای حل این مسئله جایزه‌ای نقدی تعیین کرده بود.

رد و پیشرفت

OpenAI اکنون به یک پیشرفت غیرمنتظره و بنیادین در مسئله فاصله واحد دست یافته است. از زمان کارهای اولیه اردوش، باور غالب این بود که ساختارهای «شبکه مربعی» برای بیشینه‌سازی تعداد جفت‌های با فاصله واحد، اساساً بهینه هستند. یک مدل داخلی OpenAI این حدس دیرینه را رد کرد و خانواده‌ای نامتناهی از نمونه‌ها را ارائه داد که یک بهبود چندجمله‌ای ایجاد می‌کنند. این اثبات توسط گروهی از ریاضی‌دانان مستقل بررسی شده و همچنین یک در مقاله دنباله نوشتند که به توضیح استدلال‌ها پرداخته و پیش‌زمینه و بستر بیشتری برای درک اهمیت این دستاورد ارائه می‌دهد.

این دستاورد همچنین به دلیل نحوه کشف آن قابل‌توجه است. این اثبات از یک مدل استدلال همه‌منظوره و جدید به‌دست‌آمده است، نه از سیستمی که مشخصاً برای ریاضیات آموزش دیده باشد یا برای جست‌وجو در میان استراتژی‌های اثبات ساختاریافته باشد و به طور خاص روی مسئله فاصله واحد متمرکز شده باشد. به‌عنوان بخشی از یک تلاش گسترده‌تر برای آزمایش اینکه آیا مدل‌های پیشرفته می‌توانند به پژوهش‌های لبه دانش (Frontier Research) کمک کنند، ما OpenAI مدل را روی مجموعه‌ای از مسائل اردوش ارزیابی کرد. در این مورد، مدل توانست اثباتی را تولید کند که این مسئله باز را حل کرد.

اثبات OpenAI را در اینجا بخوانید

این اثبات یک نقطه عطف مهم برای جوامع ریاضیات و هوش مصنوعی محسوب می‌شود. این نخستین باری است که یک مسئله باز و برجسته که در مرکز یک زیرشاخه از ریاضیات قرار دارد، مستقلاً توسط هوش مصنوعی حل می‌شود. این امر همچنین نشان‌دهنده عمق استدلالی است که این سیستم‌ها اکنون از آن پشتیبانی می‌کنند. ریاضیات یک بستر آزمایشی بسیار شفاف برای استدلال فراهم می‌کند؛ زیرا مسائل دقیق هستند، اثبات‌های بالقوه قابل‌بررسی و راستی‌آزمایی هستند و یک استدلال طولانی تنها در صورتی کار می‌کند که از ابتدا تا انتها یکپارچگی استدلالی خود را حفظ کند. روشی که مسئله با آن حل شد نیز شایان توجه است. این اثبات، ایده‌های پیچیده و غیرمنتظره‌ای از نظریه جبری اعداد (Algebraic Number Theory) را برای پاسخگویی به یک پرسش مقدماتی هندسی به کار می‌گیرد.

مقاله دنباله را در اینجا بخوانید

«تیم گاورز» (Tim Gowers)، برنده مدال فیلدز، در مقاله دنباله این دستاورد را «یک نقطه عطف در ریاضیات هوش مصنوعی» می‌نامد. به گفته «آرول شانکار» (Arul Shankar)، نظریه‌پرداز برجسته اعداد: «به نظر من این مقاله نشان می‌دهد که مدل‌های فعلی هوش مصنوعی فراتر از صرفاً دستیارانی برای ریاضی‌دانان انسانی عمل می‌کنند؛ آن‌ها قادرند ایده‌های مبتکرانه و اصیلی داشته باشند و سپس آن‌ها را تا مرحله ثمردهی پیش ببرند.»

نسخه خلاصه‌شده از زنجیره تفکر (Chain of Thought) مدل

مسئله فاصله واحد

تاریخچه این مسئله کمک می‌کند تا دریابیم چرا این نتیجه تا این حد شگفت‌انگیز است. بهترین کران پایین (Lower Bound) شناخته‌شده از زمان ساختار اولیه اردوش در سال ۱۹۴۶ اساساً بدون تغییر باقی مانده بود. بهترین کران بالا به کار اسپنسر، سمرِدی و تراتر در سال۱۹۸۴ بازمی‌گردد و به‌رغم اصلاحات بعدی و کارهای ساختاری مرتبط توسط سِکِی (Székely)، کاتز و سیلیِر (Katz and Silier)، پاچ (Pach)، راز (Raz)، سولیموسی (Solymosi) و دیگران، کران بالا تقریباً دست‌نخورده باقی مانده بود. به‌عنوان شواهدی در تأیید این حدس، ماتوشک (Matoušek) و آلون-بوچیچ-ساورمان (Alon-Bucić-Sauermann) این مسئله را با فواصل غیراقلیدسی در صفحه مطالعه کردند و اثبات کردند که «اکثر» این فواصل غیراقلیدسی به نوعی از این حدس پیروی می‌کنند.

در کمال شگفتی، اجزای کلیدی این ساختار از بخش بسیار متفاوتی از ریاضیات موسوم به نظریه جبری اعداد نشئت می‌گیرد که مفاهیمی مانند تجزیه در توسیع‌های اعداد صحیح (Extensions of the integers) موسوم به میدان‌های اعداد جبری (Algebraic Number Fields) را مطالعه می‌کند. پس از راستی‌آزمایی اثبات اولیه، OpenAI نرخ موفقیت مدل‌های خود را روی این مسئله با مقادیر مختلفی از توان پردازشی در زمان آزمون (Test-time Compute) بررسی کرد.

تکنیک‌های جدید از نظریه جبری اعداد

در سطح کلان، این اثبات با یک ایده هندسی آشنا آغاز می‌شود و آن را به سمتی غیرمنتظره سوق می‌دهد.

کران پایین اصلی اردوش را می‌توان از طریق اعداد صحیح گاوسی به شکل a+bi درک کرد. اعداد صحیح گاوسی اعداد صحیح معمولی را بسط می‌دهند و همانند آن‌ها، از ویژگی‌هایی نظیر تجزیه یکتا به اعداد اول برخوردارند. چنین توسیع‌هایی از اعداد صحیح یا گویا به‌عنوان میدان‌های اعداد جبری شناخته می‌شوند. استدلال جدید، تعمیم‌های پیچیده‌تری از نظریه جبری اعداد را با تقارن‌های غنی‌تر جایگزین اعداد صحیح گاوسی می‌کند که می‌توانند تفاوت‌های طولِ واحد بسیار بیشتری ایجاد کنند.

استدلال دقیق از ابزارهایی مانند برج‌های میدان رده نامتناهی (Infinite class field towers) و نظریه گولود-شافارویچ (Golod-Shafarevich theory) استفاده می‌کند تا نشان دهد میدان‌های اعداد موردنیاز برای این استدلال در واقع وجود دارند. این ایده‌ها برای نظریه‌پردازان جبری اعداد کاملاً شناخته‌شده بودند، اما اینکه این مفاهیم پیامدهایی برای پرسش‌های هندسی در صفحه اقلیدسی داشته باشند، غافلگیری بزرگی بود.

این موضوع برای ریاضیات چه معنایی دارد

یک سیستم هوش مصنوعی به طور مستقل و خودمختار، یک مسئله باز دیرینه را که در مرکز یک حوزه فعال تحقیقاتی قرار داشت، حل کرده است. این نتیجه نقطه عطفی در تعامل میان هوش مصنوعی و ریاضیات است. این امر همچنین چشم‌انداز تازه‌ای از نوع جدیدی از همکاری میان هوش مصنوعی و ریاضی‌دانان انسانی را ارائه می‌دهد. در این مورد، پژوهش دنباله که توسط ریاضی‌دانان مستقل انجام شده است، تصویر بسیار غنی‌تری نسبت به راه‌حل اولیه ترسیم می‌کند.

همان‌طور که «توماس بلوم» (Thomas Bloom) در یادداشتی می‌نویسد: «هنگام ارزیابی اهمیت و تأثیر یک اثبات تولیدشده توسط هوش مصنوعی، سؤالی که از خود می‌پرسم این است: آیا این امر چیز جدیدی درباره مسئله به ما آموخته است؟ آیا اکنون هندسه گسسته را بهتر می‌فهمیم؟ فکر می‌کنم پاسخ یک «بله» تعدیل‌شده است. این امر نشان می‌دهد که ساختارهای نظریه اعداد حرف‌های بسیار بیشتری از آنچه ما گمان می‌کردیم برای گفتن در مورد این دست از پرسش‌ها دارند و مهم‌تر اینکه، نظریه اعداد موردنیاز می‌تواند بسیار عمیق باشد. شکی نیست که بسیاری از نظریه‌پردازان جبری اعداد در ماه‌های آینده نگاه دقیقی به دیگر مسائل باز در هندسه گسسته خواهند انداخت.»

ارتباط غیرمنتظره میان نظریه جبری اعداد و هندسه گسسته که با این راه‌حل آشکار شد، بخشی از چیزی است که این نتیجه را شایان توجه می‌سازد. این دستاورد صرفاً یک حدس خاص را حل‌وفصل نمی‌کند، بلکه ممکن است پلی برای ریاضی‌دانان فراهم آورد تا کاوش در دیگر مسائل مرتبط را آغاز کنند. این دستاورد یک نمونه امیدوارکننده ارائه می‌دهد؛ هوش مصنوعی نه‌تنها یک راه‌حل، بلکه یک کشف ریاضی را ارائه می‌دهد که اهمیت آن از طریق درک و شناختِ متعاقبِ انسانی، شفاف‌تر و غنی‌تر می‌شود.

چرا این موضوع اهمیت دارد

پیام کلیدی این رخداد، بسیار بزرگ‌تر از این نتیجه خاص است. استدلال ریاضیاتی بهتر می‌تواند هوش مصنوعی را به یک شریک تحقیقاتی قوی‌تر تبدیل کند؛ چیزی که می‌تواند رشته‌افکارهای پیچیده را منسجم نگه دارد، ایده‌ها را در حوزه‌های دورافتاده دانش به یکدیگر پیوند دهد، مسیرهای امیدوارکننده‌ای که شاید متخصصان در اولویت قرار نداده‌اند را نمایان کند و به پژوهشگران کمک کند تا در مسائلی که در غیر این صورت برای حل آن‌ها بسیار پیچیده یا زمان‌بر می‌بودند، پیشرفت کنند.

این قابلیت‌ها در حوزه‌هایی فراتر از ریاضیات نیز حائز اهمیت هستند. اگر یک مدل بتواند انسجام یک استدلال پیچیده را حفظ کند، ایده‌های حوزه‌های مختلف و دور از هم را به هم متصل و دانشی تولید کند که از زیر نگاه موشکافانه متخصصان سربلند بیرون بیاید، توانایی‌های مفیدی در زیست‌شناسی، فیزیک، علم مواد، مهندسی و پزشکی نیز به شمار می‌آیند و بخشی از مسیر بلندمدت به سمت تحقیقات خودکارتر هستند؛ یعنی سیستم‌هایی که می‌توانند به دانشمندان و مهندسان در کاوش ایده‌های بیشتر و پیگیری پرسش‌های فنی دشوارتر کمک کنند.

هوش مصنوعی در آستانه ایفای نقشی بسیار جدی در بخش‌های خلاقانه پژوهش و از همه مهم‌تر در خود پژوهش‌های هوش مصنوعی است. اگرچه این پیشرفت دور از انتظار نیست، اما ضرورت و فوریتی را که برای درک این فاز بعدی از توسعه هوش مصنوعی، چالش‌های هم‌راستایی سیستم‌های هوشمند و آینده همکاری انسان و هوش مصنوعی احساس می‌کنیم، تقویت می‌کند.

آن آینده همچنان به قضاوت انسان وابسته است. تخصص ارزشمندتر می‌شود، نه کم‌ارزش‌تر. هوش مصنوعی می‌تواند به جست‌وجو، پیشنهاددادن و راستی‌آزمایی کمک کند؛ اما این انسان‌ها هستند که مسائل مهم را انتخاب می‌کنند، نتایج را تفسیر می‌کنند و تصمیم می‌گیرند که در گام بعدی چه پرسش‌هایی را دنبال کنند.