ارائه راه‌حل برای ۱۰ مسئله ریاضی لاینحل

غول هوش مصنوعی OpenAI در جدیدترین گزارشی پژوهشی خود از ۱۰ دستاورد جدید در حوزه ریاضیات و علوم کامپیوتر نظری خبر داده است. دستاوردهایی که نشان می‌دهد مدل‌های هوش مصنوعی در حال عبور از مرحله حل مسائل شناخته‌شده و ورود به قلمرو کشف ایده‌های جدید هستند.

به گفته OpenAI، این دستاوردها با کمک نسخه داخلی مدلی رونمایی‌نشده به نام Astra به دست آمده‌اند؛ مدلی که توانسته است استدلال‌های طولانی ریاضی را تولید کرده و سپس آن‌ها را با استفاده از گواهی‌های رسمی در زبان Lean اعتبارسنجی کند.
همچنین تعداد کل توکن‌های موردنیاز برای یافتن راه‌حل برای این مسائل با نرخ Sol API تقریباً ۲۰۰۰ دلار برآورد شده است.

برخی از این نتایج شامل بهبود کران‌های نظری در مسائل بسته‌بندی کره‌ها، پیشرفت در کدهای دودویی و کروی و ارائه ساختارهای جدید برای حل مسائل باز ریاضی هستند؛ از جمله

1. High-dimensional sphere packing:
   بسته‌بندی کره‌ها در ابعاد بالا. کران‌های بالای جدید برای چگالی بسته‌بندی کره‌ها تا آستانه «کان–الکیس» (Cohn–Elkies).
2. Binary and spherical codes:
   کدهای دودویی و کروی: بهبود نمایی کران‌های مربوط به حداکثر اندازه کدهای دودویی در هر فاصله حداقلِ تعیین‌شده، همراه با نتایج مشابه برای کدهای کروی در ابعاد بالا.
3. Non-sofic groups:
   گروه‌های غیرسوفیک (ناسوفیک). ارائه یک ساختار که وجود گروه‌های غیرسوفیک را اثبات می‌کند و به یک مسئله بازِ بنیادین در نظریه گروه‌ها پاسخ می‌دهد.
4. Connes’s rigidity conjecture:
   حدس صلبیت کان. ابطال یک حدس دیرینه مبنی بر اینکه گروه‌های خاصی به طور منحصربه‌فرد توسط جبرهای «فون نویمان» خود تعیین می‌شوند.
5. Arithmetic circuit complexity:
   پیچیدگی مدارهای حسابی. کران‌های پایین جدید برای محاسبه «دائمی» (Permanent) با استفاده از مدارها و فرمول‌های حسابی، از جمله یک کران پایین برای فرمول حسابی از مرتبه n^4/Log(n).
6. Quantum parallel repetition:
   تکرار موازی کوانتومی. یک قضیه تکرار موازی نمایی برای بازی‌های کوانتومی عمومی دو نفره که یک اصل بنیادی از نظریه پیچیدگی کلاسیک را تعمیم می‌دهد.
7. Closest vector problem:
   مسئله نزدیک‌ترین بردار. سختیِ تقریبی با فاکتور چندجمله‌ای برای مسئله نزدیک‌ترین بردار؛ یک مسئله بنیادی در نظریه شبکه‌ها (Lattices) که به رمزنگاری پساکوانتومی مرتبط است.
8. Ehrhart’s volume conjecture:
   حدس حجم ارهارت. تعیین حداکثر حجم ممکن برای یک جسم محدب در هر بعد، به‌طوری که مرکز ثقل آن، تنها نقطه شبکه‌ایِ درونی آن باشد.
9. Multicolor Ramsey numbers:
   اعداد رمزی چندرنگ. یک کران پایین فوق‌نمایی (Superexponential) برای اعداد رمزی مثلثاتیِ چندرنگ، که مسئله ۱۸۳ اردوش (Erdős) را حل می‌کند.
10. Extremal number conjectures:
    حدس‌های اعداد حدی (اکسترمال). نتایجی درباره حدس‌های «فشردگی» (Compactness) و «تبهگنی» (Degeneracy) در نظریه گراف‌های حدی که مسائل ۱۴۶ و ۱۸۰ اردوش را حل می‌کند.

اهمیت این پیشرفت‌ها تنها در حل چند مسئله دشوار خلاصه نمی‌شود؛ بلکه نشان‌دهنده تغییر نقش هوش مصنوعی از یک ابزار محاسباتی به یک همکار پژوهشی در فرآیند تولید دانش است. مسیرهای استدلالی تازه‌ای پیشنهاد دهند، ارتباط میان حوزه‌های مختلف ریاضی را کشف کنند و به پژوهشگران در بررسی ایده‌هایی کمک کنند که پیش‌تر دست‌نیافتنی به نظر می‌رسیدند.