آیا ChatGPT واقعاً معادله ناویر–استوکس را فقط در ۸۸ ساعت حل کرده است؟

OpenAI از ارائه راه‌حلی برای مسئله وجود و همواری ناویر–استوکس، یکی از مسائل جایزه هزاره، خبر داده است. یک مدل داخلی OpenAI با تولید یک برهان تحلیلی و صورت‌بندی رسمی این معادله در زبان Lean نشان داده است که دینامیک معادلات ناویر–استوکس برای حرکت سیالات می‌تواند در زمانی متناهی به یک تکینگی منجر شود. OpenAI این نتیجه را حل مسئله ناویر–استوکس می‌داند، هرچند اعلام می‌کند که قصد ندارد جایزه هزاره را برای این نتیجه مطالبه کند.

چالش

«مسائل جایزه هزاره» (Millennium Prize Problems) از عمیق‌ترین پرسش‌های مرزی ریاضیات محسوب می‌شوند. مسئله این‌ که آیا حرکت هموار یک سیال سه‌بعدی می‌تواند دچار فروپاشی شود، حدود ۹۰ سال بدون پاسخ باقی‌مانده بود. معادلات ناویر–استوکس بر اساس قانون دوم حرکت نیوتن، یعنی «F=ma»، حرکت سیالات را توصیف می‌کنند و سیال را به‌جای مجموعه‌ای از مولکول‌های منفرد، به‌صورت یک محیط پیوسته در نظر می‌گیرند. این معادلات در طراحی هواپیما، پیش‌بینی وضعیت هوا و مطالعه جریان خون کاربرد دارند.

پرسش بنیادی این بود که آیا این تقریبِ پیوسته می‌تواند از کار بیفتد و مشخصاً، آیا یک سیال تراکم‌ناپذیر سه‌بعدی با چگالی ثابت، حتی اگر حرکت خود را به‌صورت کاملاً هموار آغاز کند، می‌تواند به تکینگی برسد؟ OpenAI در بلاگ خود تکینگی را به وضعیتی می‌گوید که سرعت سیال در مدت زمانی متناهی بدون کران افزایش یابد. چنین اتفاقی با وجود ویسکوزیته رخ می‌دهد؛ نیرویی که معمولاً تمایل دارد حرکت را هموار کند. ازآنجاکه یک سیال واقعی نمی‌تواند با سرعتی بی‌نهایت حرکت کند، شکل‌گیری تکینگی به معنای شکست مدل‌سازی معادلات خواهد بود و برای ادامه مدل‌سازی، باید رفتار تک‌تک ذرات را دنبال کرد.

معادلات ناویر–استوکس به کارهای قرن نوزدهم «کلود-لویی ناویر» و «جورج گابریل استوکس» بازمی‌گردند. در سال ۱۹۳۴، «ژان لِره» نشان داد که جواب‌ها در یک معنای تعمیم‌یافته وجود دارند، اما این پرسش که آیا این جواب‌ها همواره هموار باقی می‌مانند، همچنان حل‌نشده ماند. مؤسسه ریاضیات کلی در سال ۲۰۰۰ این پرسش را به‌عنوان یکی از هفت مسئله جایزه هزاره معرفی کرد.

نتیجه اعلام‌شده

بر اساس گزارش OpenAI، مدل داخلی این شرکت ثابت کرده است که یک سیال در ابتدا هموار و ساکن می‌تواند در زمانی متناهی دچار تکینگی شود. در این سناریو، نیرویی هموار به سیال اعمال می‌شود و انرژی آن در تمام طول دینامیک، از حالت سکون تا شکل‌گیری تکینگی، متناهی باقی می‌ماند. OpenAI می‌گوید این نتیجه گزاره C و همچنین D در صورت‌بندی رسمی مسئله هزاره را برقرار می‌کند.

راه‌حل به شکل یک گردابه یا vortex ظاهر می‌شود، جریان چرخشی به سمت داخل مارپیچ می‌شود و هم‌زمان بیش‌ازپیش کشیده و باریک می‌شود؛ فرایندی که متن آن را به اسپاگتی تشبیه می‌کند. ناحیه مرکزی کوچک‌تر می‌شود و سرعت آن افزایش می‌یابد، اما انرژی همچنان متناهی باقی می‌ماند. چالش اصلی این است که فروپاشی باید از خود حرکت سیال ناشی شود، نه از واردکردن یک نیروی بی‌نهایت به سیستم.

از دید ریاضی، مؤلفه‌های معادلات ناویر–استوکس که حرکت را توصیف می‌کنند؛ از جمله شتاب، گرادیان‌های فشار، انتقال تکانه و ویسکوزیته باید هم‌زمان بسیار بزرگ شوند، اما به شکلی دقیق یکدیگر را خنثی کنند. این تعادل دقیق باعث می‌شود نیروی خارجی همچنان هموار باقی بماند، درحالی‌که سرعت سیال بدون کران افزایش پیدا می‌کند.

چگونگی کشف برهان

فرایند کشف این راه‌حل با آموزش یک مدل داخلی جدید OpenAI از ۲۸ اوت آغاز شد؛ مدلی که به ادعای OpenAI، در معیارهای مختلف، از جمله ریاضیات، عملکردی بی‌سابقه نشان داده و آموزش آن همچنان ادامه داشته است. در ۱ سپتامبر، OpenAI شایعاتی درباره حل دو مسئله جایزه هزاره شنید. این موضوع، همراه با جهش عملکرد مدل داخلی، باعث شد OpenAI ارزیابی مدل را روی تمام مسائل باز جایزه هزاره و چند مسئله مهم دیگر آغاز کند.

برای این کار، از یک سیستم چندعاملی متشکل از عامل‌هایی استفاده شد که با مدل داخلی کار می‌کردند. این عامل‌ها به ابزارهایی مانند نسخه ذخیره‌شده‌ای از اینترنت و امکان اجرای کد دسترسی داشتند و در گروه‌هایی با اندازه‌های مختلف سازمان‌دهی شده بودند. گروهی که روی مسئله ناویر–استوکس کار کرد، حدود ۱۰ هزار عامل هم‌زمان داشت. OpenAI اعلام می‌کند که در تمام مراحل، تدابیر ایمنی سخت‌گیرانه مربوط به ارزیابی مدل‌های پیشرفته، از جمله نظارت و ایزوله‌سازی، برقرار بوده است.

برای هر مسئله، گروه‌های مختلف با صورت‌بندی‌های متفاوت مسئله هدایت شدند. درباره ناویر–استوکس، نسخه‌های A و B که می‌توانستند به اثبات مسئله منجر شوند و نسخه‌های C و D که می‌توانستند به رد آن منجر شوند، به گروه‌های جداگانه داده شدند.

سامانه همچنین مسئله ساده‌تری مرتبط با حد ناویر–استوکس، یعنی مسئله منظم‌بودن معادلات اویلر بدون جمله ویسکوزیته، را بررسی کرد. تقریباً ۱۰۰ عامل در حدود ۵۰ ساعت روی نسخه بدون نیروی خارجی این مسئله کار کردند و به یک رد مسئله رسیدند. پس از این نتیجه، OpenAI منابع بیشتری را به ناویر–استوکس اختصاص داد. عامل‌ها از بینش‌های حاصل از کار روی اویلر استفاده کردند و با کمک Codex، نتایج مفید گروه‌های مختلف با یکدیگر ترکیب شد.

عامل‌ها در ۵ سپتامبر، حدود ۸۸ ساعت پس از آغاز کار، به راه‌حل ناویر–استوکس رسیدند. صورت‌بندی و راستی‌آزمایی آن در Lean نیز با استفاده از GPT 6 Astra حدود ۱۷ ساعت دیگر زمان برد.

در مجموع، عامل‌ها در تمام مسائل مورد بررسی ۴.۹ میلیون پیام ارسال کردند و حدود ۳۰۰ میلیارد توکن خروجی تولید کردند. برای مسئله ناویر–استوکس، این ارقام حدود ۲.۷ میلیون پیام و ۱۳۰ میلیارد توکن بود.

کار هم‌زمان و مسئولیت

OpenAI توضیح می‌دهد که آغاز این پروژه با شایعه‌ای مرتبط بود که بعداً مشخص شد به Levent Alpöge، کارمند آنتروپیک و Tristan Buckmaster، استاد ریاضیات دانشگاه نیویورک مربوط بوده است. پس از تکمیل پروژه و راستی‌آزمایی Lean در ۶ سپتامبر، OpenAI برای انتشار هم‌زمان و به‌رسمیت‌شناختن اولویت کار آنان با آن‌ها تماس گرفت. سپس مشخص شد که کار آن‌ها مربوط به مسئله اویلرِ دارای نیروی خارجی بوده است. OpenAI تأکید می‌کند که پژوهشگران و عامل‌هایش تا زمان انتشار عمومی، هیچ‌یک از کارهای آنان را ندیده بودند.

در نهایت، هدف OpenAI از انتشار این نتیجه، گزارش پیشرفت قابل‌توجه مدل‌های هوش مصنوعی عنوان شده است، نه ادعای جایزه هزاره به ارزش یک میلیون دلار. این شرکت این دستاورد را حاصل تلاش ریاضی‌دانان و پژوهشگران هوش مصنوعی می‌داند و آن را نه نقطه پایان، بلکه تصویری از وضعیت فعلی پیشرفت هوش مصنوعی توصیف می‌کند. همچنین اعلام می‌کند که تمرکز کنونی بر درک بهتر این مدل و استفاده از این شناخت برای هدایت و تنظیم سرعت پیشرفت‌های آینده است، با هدف ساخت سامانه‌هایی قابل‌کنترل، پاسخ‌گو و متصل به انسان‌ها.

پیپر پژوهشی OpenAI

لینک دسترسی به فرمولاسیون پرژوه در GitHub

اهمیت این ادعا صرفاً در حل یک مسئله دشوار ریاضی نیست؛ بلکه در مقیاسی است که هوش مصنوعی می‌تواند در آن از تولید پاسخ‌های متنی فراتر برود و در فرآیند کشف، استدلال و اعتبارسنجی ریاضی مشارکت کند. با این حال، میان «ارائه یک اثبات توسط یک سیستم هوش مصنوعی» و «پذیرش نهایی یک راه‌حل ریاضی» فاصله وجود دارد. اکنون پرسش اصلی این است که آیا جامعه ریاضی می‌تواند صحت این اثبات را به‌طور مستقل تأیید کند. اگر این نتیجه تأیید شود، یکی از روشن‌ترین نمونه‌ها از تغییر نقش AI از ابزار حل مسئله به عامل مشارکت‌کننده در کشف علمی خواهد بود.